Hvordan gange komplekse tall

Her vil du lære om multiplikasjon av komplekse tall både på kartesisk form og på polarform.

Kartesisk form

På kartesisk form ganger du komplekse tall sammen ledd for ledd. Dette gjør du på samme måte som multiplikasjon av vanlige algebraiske uttrykk med parenteser. Når du ganger sammen komplekse tall må du huske at den imaginære enheten i har egenskapen i2 = 1:

Formel

Multiplikasjon kartesisk form

La z1 = a + bi og z2 = c + di være komplekse tall. Da er:

z1 z2 = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac bd) + (ad + bc)i.

Produktet av to komplekse tall blir ett nytt komplekst tall. I et matematisk språk beskrives denne egenskapen som at mengden av komplekse tall er lukket under multiplikasjon.

Eksempel 1

Finn z1 z2 og z2 z3 for de komplekse tallene z1 = 3i, z2 = 5 + 2i og z1 = 1 i

Du finner z1 z2 ved å gange z1 med begge leddene i z2:

z1 z2 = 3i (5 + 2i) = 3i 5 + 3i 2i = 15i + 6i2 = 6 + 15i.

For å finne z2 z3 ganger du begge leddene i z2 med begge leddene i z3:

= z2 z3 = (5 + 2i) (1 i) = 5 1 + 5 (i) + 2i 1 + 2i (i) = 5 5i + 2i 2i2 = (5 + 2) + (5 + 2) i = 7 3i.

z2 z3 = (5 + 2i) (1 i) = 5 1 + 5 (i) + 2i 1 + 2i (i) = 5 5i + 2i 2i2 = (5 + 2) + (5 + 2) i = 7 3i.

Polarform

Om du skriver komplekse tall ved å bruke den komplekse eksponentialfunksjonen, kan du gange sammen komplekse tall ved å bruke vanlige regneregler for potensregning:

Formel

Multiplikasjon polarform

La z1 = r1ei𝜃1 og z2 = r2ei𝜃2 være komplekse tall. Da er:

z1 z2 = r1ei𝜃1 r 2ei𝜃2 = (r1 r2) ei𝜃1+i𝜃2 = r1r2ei(𝜃1+𝜃2).

Når du ganger sammen to komplekse tall på polarform ganger du normene og legger argumentene sammen. Dette kan visualiseres i det komplekse plan:

Geometrisk fremstilling av multiplikasjon av komplekse tall.

Multiplikasjon av komplekse tall kan tenkes på som en rotasjon og skalering i det komplekse planet. For eksempel svarer multiplikasjon med den imaginære enheten i til en rotasjon på 90 eller π 2 radianer fordi i har norm 1 og argument π 2.

Eksempel 2

Finn z3 = r3ei𝜃3 = z1 z2 når z1 = 2eiπ 3 og z2 = 4eiπ 6

Normen til z3 finner du ved å gange sammen normene til z1 og z2:

r3 = 2 4 = 8.

Argumentet til z3 finner du ved å legge sammen argumentene til z1 og z2:

𝜃3 = π 3 + π 6 = π 2.

Produktet z3 blir da:

z3 = 8eiπ2 = 8i.

Egenskaper ved multiplikasjon

På lik linje med de reelle tallene gjelder den kommutative, assosiative og distributive loven for multiplikasjon av komplekse tall:

Regel

Kommutativ, assosiativ og distributiv lov

For alle komplekse tall z1, z2 og z3 gjelder den kommutative loven:

z1 z2 = z2 z1,

den assosiative loven:

(z1 z2) z3 = z1 (z2 z3) ,

og den distributive loven:

z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3.
Den kommutative og den assosiative loven sier at du fritt kan bytte om rekkefølgen på tall og parenteser så lenge regnestykket kun inneholder multiplikasjon. Den distributive loven sier at du kan gange komplekse tall inn i parenteser og faktorisere komplekse tall.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!