>Trigonometriske setninger>Hva er cosinussetningen?

Hva er cosinussetningen?

Trekant med vinkler og sider

Cosinussetningen er den generelle formen av Pytagoras’ setning og kan brukes på alle trekanter. Du ser at dersom du setter $A = 90 °$ , så blir $- 2 b c \cdot \cos A = 0$ og du blir sittende igjen med Pytagoras’ setning.

Formel

Cosinussetningen

Gitt at $b$ og $c$ er lengdene som utspenner vinkel $∠ A$ , da har du at

\begin{align} a^{2} & = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos A & (1) \\ \cos A & = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} & (2) \end{align}

Regel

Bruksområde

Du kan bruke cosinussetningen til

Å finne en side i trekanten dersom du kjenner to sider og en vinkel. Formel (1).
Å finne en vinkel dersom du kjenner alle de tre sidene. Formel (2).

Eksempel 1

Du har firkanten $□ A B C D$ der $A B = 12$ , $A D = 9$ , $∠ A = 120 °$ . Finn diagonalen $B D$ .

Først tegner du en hjelpetegning for å se hvordan dette ser ut.

To trekanter og firkant i samme figur

Nå ser du at dette passer med cosinussetning (1). Sett inn tallene og finn $B D$ . $\begin{array}{l} B D^{2} & = A B^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A B \cdot A D \cdot \cos 120 ° \\ = 1 2^{2} + 9^{2} - 2 \cdot 12 \cdot 9 \cdot \cos 120 ° \\ = 144 + 81 - 216 \cdot (- 0, 5) \\ = 333 \\ B D & = \sqrt{333} \\ \approx 18, 25 . \end{array}$

Så $B D \approx 18, 25$ .

Eksempel 2

Du har trekanten $△ A B C$ der $A B = 7$ , $A C = 5$ og $B C = 10$ . Finn $∠ A$ .

Først tegner du en hjelpetegning for å se hvordan dette ser ut.

Trekant med sider 5, 7 og 10, og stump vinkel

Nå ser du at dette passer med cosinussetning (2). Sett inn tallene og finn $∠ A$ . $\begin{array}{l} \cos A & = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C} \\ = \frac{7^{2} + 5^{2} - 1 0^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 5} \\ = \frac{49 + 25 - 100}{70} \\ = \frac{- 26}{70} \\ A & = \cos^{- 1} (\frac{- 13}{35}) \\ \approx 111, 8 ° . \end{array}$

Vinkelen $∠ A \approx 111, 8 °$ .

Forrige oppslag

Hva er sinussetningen?

Neste oppslag

Liste over trigonometriske identiteter

Tilbake