Apollonius' sirkel

Tegn hjelpefigur:

Du begynner først med å konstruere linjen $AB=10\text{cm}$. Deretter konstruerer du normaler fra både $A$ og $B$ og setter av høyden lik $5$ cm.

Du må nå finne en måte å konstruere $\angle C$, og det er her Apollonius’ sirkel anvendes. Det eneste du vet er at $\angle C$ skal ligge på den stiplede linjen som er $5$ cm fra $AB$, men du vet ikke hvor.

Fra Apollonius’ sirkel vet du derimot at dersom du slår en sirkel som går gjennom $A$ og $B$, så vil senteret $S$ av sirkelen være sentralvinkelen til enhver periferivinkel som spenner over $AB$. Dermed kan du bruke det du vet om $\angle C={45}^{\circ }$ til å finne vinklene $\angle ABS$ og $\angle BAS$, slik at de kan konstrueres for så å finne sentrum $S$ av sirkelen. Du bruker formelen (1):

Du konstruerer dermed $45$${}^{\circ }$ i $A$ og $B$ slik at de vender inn i sirkelen:

Siden $\angle BAS$ og $\angle ABS$ begge er $45$${}^{\circ }$ så må $\angle S={90}^{\circ }$. Dette stemmer over ens med at $\angle S$ skal være sentralvinkelen til $\angle C$. Dermed kan du tegne sirkelen med sentrum i $S$ og radius $SA$. Der sirkelen skjærer den stiplede linjen finner du $\angle C$. Dette skjer to steder, men oppgaven ber deg velge det som er nærmest $A$. Dermed kan du trekke linjene mellom $A$, $B$ og $C$ slik at trekanten er ferdig konstruert. Er det ikke vakkert!