>Polynomdivisjon>Hva er polynomdivisjon?

Hva er polynomdivisjon?

Polynomdivisjon er, som ordet sier, divisjon med polynomer. Et polynom er en sum av ledd på formen $a x^{n}$ , der $a \in ℝ$ (reelle tall) og $n \in ℕ$ (naturlig tall). Teknikken er akkurat som den du lærte for divisjon på barneskolen.

Polynomdivisjon dukker ofte opp når du skal faktorisere polynomer av høyere grad, slik som

a x^{3} + b x^{2} + c x + d,

eller når du skal løse polynomlikninger av høyere grad. Et av de viktigste triksene er da å gjette hva én av løsningene til likningen kan være. Dette høres litt sprøtt ut, men du utfører en kvalifisert gjetning fremfor å trekke tilfeldige tall ut av en hatt. Å gjette på løsning vil si at du prøver forskjellige tall

x = 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, \dots

ved å sette inn i uttrykket og se om utregningen blir 0. Det høres i utgangspunktet litt underlig ut å skulle gjette på løsninger, men ikke fortvil, dette er ganske enkelt.

Teori

Viktig informasjon ved polynomdivisjon

Divisjonen $P (x) : (x - a)$ går opp hvis $P (a) = 0$ . Da er $x = a$ en løsning av likningen $P (x) = 0$ . Altså, dersom $P (a) = 0$ er $a$ en løsning av likningen $P (x) = 0$ .
Divisjonen $P (x) : (x - a)$ går ikke opp hvis $P (a) \neq 0$ . Da er $x = a$ ikke en løsning av likningen $P (x) = 0$ og du vil få en rest når du utfører divisjonen.

Polynomdivisjon er lettest bortlært ved et eksempel fremfor en kronglete oppskrift. Her kommer et eksempel på hvordan du sjekker om $x = a$ er en løsning og noen eksempler på polynomdivisjon med forklaring.

NB! Dividend er det samme som teller og divisor er det samme som nevner.

Eksempel 1

Sjekk om $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 2$ er delelig med $x - 1$ .

Du vet at $P (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 2$ er delelig med $x - 1$ dersom $P (1) = 0$ . Du regner ut

\begin{array}{l} P (1) & = {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} - 3 (1) - 2 \\ = 1 + 2 - 3 - 2 \\ = - 2 \\ \neq 0 . \end{array}

Du kan dermed konkludere med at

x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 2

ikke er delelig med $x - 1$ .

Eksempel 2

Polynomdivisjon uten rest

Følg punktene under og sørg for at du skjønner fremgangsmåten. Prøv selv og se om du får den samme utregningen!

Polynomdivisjon av x^3+2x^2-5x-6 delt på x-2

1.: Først spør du: «Hva må jeg gange $x$ med for å få $x^{3}$ ?» Svaret er: $x^{2}$ .
2.: Skriv $x^{2}$ til høyre for likhetstegnet og $- x^{3}$ under $x^{3}$ til venstre i regnestykket.
3.: Nå ganger du $x^{2}$ med $- 2$ som gir $- 2 x^{2}$ . Sett $- (- 2 x^{2}) = 2 x^{2}$ til høyre for $- x^{3}$ på linje 2 i regnestykket.
4.: Legg sammen leddene på linje 2 med de tilhørende leddene på linje 1, og trekk ned det første leddet i dividenden som ikke har et ledd under seg.
5.: Så begynner du prosessen en gang til og gjennomfører den til du ikke har flere ledd igjen i dividenden.
6.: Dersom du nå har null i rest har divisjonen gått opp.
7.: Dersom du ikke har null i rest, lager du en brøk med resten i telleren og divisoren fra stykket i nevneren, og plusser dette på uttrykket til høyre for likhetstegnet.

Eksempel 3

Polynomdivisjon med rest

Følg punktene under og sørg for at du skjønner fremgangsmåten. Prøv selv og se om du får den samme utregningen!

Polynomdivisjon av 2x^2-5x-6 delt på x-1

1.: Først spør du: «Hva må jeg gange $x$ med for å få $2 x^{2}$ ?» Svaret er: $2 x$ .
2.: Skriv $2 x$ til høyre for likhetstegnet og $- 2 x^{2}$ under $2 x^{2}$ til venstre i regnestykket.
3.: Nå ganger du $2 x$ med $- 1$ som gir $- 2 x$ . Sett $- (- 2 x) = 2 x$ til høyre for $- x^{3}$ på linje 2 i regnestykket.
4.: Legg sammen leddene på linje 2 med de tilhørende leddene på linje 1, og trekk ned det første leddet i dividenden som ikke har et ledd under seg.
5.: Så begynner du prosessen en gang til og gjennomfører den til du ikke har flere ledd igjen i dividenden.
6.: Dersom du nå har null i rest har divisjonen gått opp.
7.: Dersom du ikke har null i rest, lager du en brøk med resten i telleren og divisoren fra stykket i nevneren, og plusser dette på uttrykket til høyre for likhetstegnet.

Eksempel 4

Gitt uttrykket

(a x^{2} - x + 4) : (x - 1),

hva må $a$ være for at polynomdivisjonen skal gå opp?

Alternativ 1 (tungvint)

I denne metoden må du først utføre polynomdivisjonen og deretter sette restleddet lik 0 og løse for $a$ .

Sett nå resten

3 + a = 0

og løs. Dette gir

a = - 3

. Altså,

a = - 3

gjør at polynomdivisjonen går opp.

Alternativ 2 (lett)

Siden du får oppgitt et delestykke der divisjonen går opp, så vet du at

P (x) = (a x^{2} - x + 4) = 0

når $x = 1$ . Dermed kan du sette $x = 1$ inn for $x$ og løse ut $a$ . Slik som dette:

\begin{array}{l} P (1) = a \cdot 1^{2} - 1 + 4 & = 0 \\ a + 3 & = 0 \\ a & = - 3 \end{array}

Dersom $a = - 3$ så vil divisjonen $(a x^{2} - x + 4) : (x - 1)$ gå opp. Betraktelig lettere enn Alternativ 1! Denne type oppgaver er en gjenganger på eksamen.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Neste oppslag

Hvordan løse tredje- og fjerdegradslikninger

Tilbake